フィボナッチ数列と2次形式（その５７）

ここでは、数列{ak}を一般化して考えてみたい。a0=0,a1=1とする

a2=Ma1+Na0=M

a3=Ma2+Na1

a4=Ma3+Na2

a5=Ma4+Na3・・・これをa3,a1で表す。Ma2=a3-Na1

a5=M(Ma3+Na2)+Na3=(M^2+N)a3+MN(a2)=(M^2+N)a3+N(a3)-N^2a1=(M^2+2N)a3-N^2a1

フィボナッチ数列:M=1,N=1(OK)

ペル数列:M=2,N=1(OK)

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b1=a1,b2=a3,b3=a5,b4=a7

bn=(M^2+2N)bn-1-N^2bn-2

演算規則を変えてb4+b1=X(b2+b3)と表されることにすると（2次形式からは逸脱してしまうが、トポグラフで表されるためには）

b4=Xb3＋Xb2-b1=(M^2+2N)b3-N^2b2

(M^2+2N-X)b3=(N^2+X)b2-b1

X=(M^2+2N-1)とおくと、b3=(N^2+M^2+2N-1)b2-b1

2次形式で表されるためには X＝(M^2+2N-1)=2,N^2=1

M=1のとき、N=1のみ

M=2のとき2N=-1、Nはそんざいしない

M=3のとき2N=-6、N=-3

トポグラフで表されるためには

X＝(M^2+2N-1),N^2=1

M=1のとき、X=2N

M=2のとき、X=2N+3

M=3のとき、X=2N+8

フィボナッチ数列:M=1,N=1(OK)

ペル数列:M=2,N=1(OK)

N=1のときだけ

bn=(M^2+2N)bn-1-N^2bn-2とb3=(N^2+M^2+2N-1)b2-b1が等しくなる （NG）

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N^2=1

M^2+2N=N^2+M^2+2N-1

N=-1でもよいことになる。（OK)

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un+1=Mun-un-1

x^2-Mx+1=0の2根をα、β＞0と置くと,

x={M+/-(M^2-4)^1/2}/2

un+1-αun=β(un-αun-1)

un+1-βun=α(un-βun-1)

N=-1でもよいことになる。（OK)

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{M-(M^2-4)^1/2}/2＞1となるのは

(M-1)^2＞M^2-4

-2M+1＞-4、M＜5/2

一般解はフィボナッチ数列などと同じ

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