ｐが素数のとき

　　１^p−１，２^p−２，３^p−３，４^p−４，５^p−５，・・・はすべてｐで割り切れるのであるが，たとえば，ｐ＝７として，ｎ^7−ｎが７で割り切れることを示してみたい．

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［１］ｐ＝２のとき

　　ｎ^2−ｎ＝ｎ（ｎ−１）

　連続する２つの整数の積は２の倍数なので，ｎ^2−ｎは２の倍数となり，ｎ^2とｎを２で割ったときの余りは等しい．

［２］ｐ＝３のとき

　　ｎ^3−ｎ＝（ｎ＋１）ｎ（ｎ−１）

　連続する３つの整数の積は３の倍数なので，ｎ^3−ｎは３の倍数となり，ｎ^3とｎを３で割ったときの余りは等しい．

［３］ｐ＝５のとき

　　ｎ^5−ｎ＝ｎ（ｎ^4−１）＝ｎ（ｎ^2−１）（ｎ^2＋１）

＝ｎ（ｎ^2−１）（ｎ^2−４＋５）

＝（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）＋５ｎ（ｎ^2−１）

　連続する５つの整数の積は５の倍数なので，ｎ^5−ｎは５の倍数となり，ｎ^5とｎを５で割ったときの余りは等しい．

［４］ｐ＝７のとき

　　ｎ^7−ｎ＝ｎ（ｎ^2−１）（ｎ^4＋ｎ^2＋１）＝ｎ（ｎ^2−１）｛（ｎ^2−４）（ｎ^2−９）＋１４ｎ^2−３５｝

＝（ｎ−３）（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）＋７（ｎ^2−１）（２ｎ^2−５）

　連続する７つの整数の積は７の倍数なので，ｎ^7−ｎは７の倍数となり，ｎ^7とｎを７で割ったときの余りは等しい．

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42が任意の整数に対してn^7-nを割り切ることを示したい。

（証）

n^7-n=(n-1)n(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)

フェルマーの小定理よりn^7-nは7で割り切れる。

(n-1)n(n+1)は連続する3数だから6で割り切れる。

gcd(7,6)=1より^7-nは42で割り切れる。

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