【１】ヴェント行列式の整除性について

　巡回行列式

　　　［（ｎ，０），（ｎ，１），（ｎ，２），・・・，（ｎ，ｎ−１）］

Ｗn ＝［（ｎ，ｎ−１），（ｎ，０），（ｎ，１），・・・，（ｎ，ｎ−２）］　　　［（ｎ，ｎ−２），（ｎ，ｎ−１），（ｎ，０），・・・，（ｎ，ｎ−３）］

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　　　［（ｎ，１），（ｎ，２），（ｎ，３），・・・，（ｎ，０）］

は

［１］ｎが６の倍数のとき，そのときの限り

　　Ｗn＝０

［２］ｎ＝ｐ−１，ｐは奇素数のとき，多くの素数を約数にもつ．また，このとき，ｐ^p-2はＷp-1の約数になる．

［３］ｐ^p-1はＷp-1の約数でなければ，

　　ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^p

となる整数（ｘ，ｙ，ｚ）は存在しないことが知られている．

　［参］チャンバーランド「ひとけたの数に魅せられて」岩波書店

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1894年、ヴェントはソフィー・ジェルマンの考え方に従って、興味深い定理を発表した。後でわかったことが、これは本質的にソフィー・ジェルマンの定理と同値であるが、それ以外にも面白い関連がある。

この行列式Wnは1のｎ乗根、ξ0=1,ξ1,・・・,ξn-1としたとき、Wn=Π[(1+ξj)^n-1]に等しい

W2=-3,W3=2^2・7,W4=-3・5^3,w5=-3^7・5^3・17^3

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