Ｑ（√５）の基本単数を求めると，

　　ｘ^2−５ｙ^2＝±1

　複号が-1の場合は（2，１）が最小

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　√５の最良近似では

　　｛（2＋√５）｝^n＝ａn＋ｂn√５

　　｛（2−√５）｝^n＝ａn−ｂn√５

これらの数列は

　　ａn^2−５ｂn^2＝（-１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√５

ですから，√５に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．

　　ａn+1＋ｂn+1√５＝（2＋√５）（ａn＋ｂn√５）

　　　　　　　　　　＝（2ａn＋５ｂn）＋√５（ａn＋2ｂn）

より

　　ａn+1＝（2ａn＋５ｂn）

　　ｂn+1＝（ａn＋2ｂn）

　　ａn+1＝（2ａn＋５ｂn）＝2ａn＋５（ａn-1＋2ｂn-1）

　＝2ａn＋ａn-1＋2（2ａn-1＋５ｂn-1）＝4ａn＋ａn-1

　　ｂn+1＝（ａn＋2ｂn）＝（2ａn-1＋５ｂn-1）＋2ｂn

　＝（2ａn-1＋4ｂn-1）＋ｂn-1＋２ｂn＝4ｂn＋ｂn-1

より

　　ａn+1＝4ａn＋ａn-1，ｂn+1＝4ｂn＋ｂn-1

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　α，βを２次方程式ｘ^2−4ｘ−1＝０の根はα＝2+√5とβ＝2-√5

（2＋√５）^1=（2＋√５）→(2,1)

（2＋√５）^2=（9＋4√５）→(9,4)

初期値をａ1＝２，ａ2＝9，ｂ1＝１，ｂ2＝4とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（5+2√5）−β^n-1（5-2√5）｝／2√5

ｎ＝１：ａ1＝2

ｎ＝２：ａ2＝9

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（2+√5）-β^n-1（2-√5）｝／2√5

ｎ＝１：ｂ1＝１

ｎ＝２：ｂ2＝4

となります．

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f(a/b)=（2ａn＋５ｂn）／（ａn＋2ｂn）

2/1，9/4，38/17、・・・分母はフィボナッチ数にならない

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{1+(a/b)}/2=(3a+7b)/(2a+4b)

3/2,13/8,55/34,・・・分母はフィボナッチ数になったが一つとびになっている。

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