Ｑ（√10）の基本単数を求めると，

　　ｘ^2−１０ｙ^2＝±1

　複号が-1の場合は（3，１）が最小

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　√５の最良近似では

　　｛（3＋√10）｝^n＝ａn＋ｂn√10

　　｛（3−√10）｝^n＝ａn−ｂn√10

これらの数列は

　　ａn^2−10ｂn^2＝（-１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√10

ですから，√５に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．

　　ａn+1＋ｂn+1√10＝（3＋√10）（ａn＋ｂn√10）

　　　　　　　　　　＝（3ａn＋10ｂn）＋√10（ａn＋3ｂn）

より

　　ａn+1＝（3ａn＋10ｂn）

　　ｂn+1＝（ａn＋3ｂn）

　　ａn+1＝（3ａn＋10ｂn）＝3ａn＋10（ａn-1＋3ｂn-1）

　＝3ａn＋ａn-1＋3（3ａn-1＋10ｂn-1）＝6ａn＋ａn-1

　　ｂn+1＝（ａn＋3ｂn）＝（3ａn-1＋10ｂn-1）＋3ｂn

　＝3（ａn-1＋3ｂn-1）＋ｂn-1＋3ｂn＝6ｂn＋1ｂn-1

より

　　ａn+1＝6ａn＋ａn-1，ｂn+1＝6ｂn＋ｂn-1

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　α，βを２次方程式ｘ^2−6ｘ−1＝０の根はα＝3+√10 とβ＝3−√10

（3＋√10）^1=（3＋√10）→(3,1)

（3＋√10）^2=（19＋6√10）→(19,6)

初期値をａ1＝3，ａ2＝19，ｂ1＝１，ｂ2＝5とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（10+3√10）−β^n-1（10-3√10）｝／2√10

ｎ＝１：ａ1＝3

ｎ＝２：ａ2＝19

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（3+√10）-β^n-1（3-√10）｝／2√10

ｎ＝１：ｂ1＝１

ｎ＝２：ｂ2＝6

となります．

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