ａn^2−８ｂn^2＝１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（３，１）である．

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【１】√８に収束する数列

√７の最良近似では

　　（３＋√８）^n＝ａn＋ｂn√８

　　（３−√８）^n＝ａn−ｂn√８

これらの数列は

　　ａn^2−８ｂn^2＝（１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√７

ですから，√７に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．

　　ａn+1＋√８ｂn+1＝（３＋√８）（ａn＋√８ｂn）

　　　　　　　　　　＝（３ａn＋８ｂn）＋√８（ａn＋３ｂn）

より

　　ａn+1＝３ａn＋８ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋３ｂn

　　ａn+1＝３ａn＋８ｂn＝３ａn＋８（ａn-1＋３ｂn-1）

　＝３ａn-ａn-1＋３（３ａn-1＋８ｂn-1）＝６ａn-ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋３ｂn＝（３ａn-1＋８ｂn-1）＋３ｂn

　＝3（ａn-1＋３ｂn-1）＋３ｂn-ｂn-1）＝６ｂn-ｂn-1

より

　　ａn+1＝６ａn−ａn-1，ｂn+1＝６ｂn−ｂn-1

（3＋√８）^1=（３＋√８）→(3,1)

（3＋√８）^2=（17＋6√８）→(17,6)

　α，βを２次方程式ｘ^2−６ｘ＋１＝０の根3±√8として，初期値をａ1＝3，ａ2＝17，ｂ1＝1，ｂ2＝6とすると

　　ａn／ｂn→　√7

となります．

　近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

が成立するならば，αは無理数です（ディリクレの定理）．

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　α，βを２次方程式ｘ^2−16ｘ+１＝０の根3±√8として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝３＋√８，β＝３−√８，初期値をａ1＝３，ａ2＝１７とすると

　　ａn＝１／２√８｛（３＋√８）^n-1（8＋3√8）-（３−√８）^n-1（3-3√8）｝

a1=3、a2=17

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

初期値をｂ1＝1，ｂ2＝6とすると

　　ｂn＝１／2√8｛（3＋√8）^n-1（3＋√8）−（3−√8）^n-1（3-√8）｝

ｂ1=1、ｂ2=6

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