ａn^2−７ｂn^2＝１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（８，３）である．

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【１】√７に収束する数列

√７の最良近似では

　　（８＋３√７）^n＝ａn＋ｂn√７

　　（８−３√７）^n＝ａn−ｂn√７

これらの数列は

　　ａn^2−７ｂn^2＝（１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√７

ですから，√７に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．

　　ａn+1＋√７ｂn+1＝（８＋３√７）（ａn＋√７ｂn）

　　　　　　　　　　＝（８ａn＋２１ｂn）＋√３（３ａn＋８ｂn）

より

　　ａn+1＝８ａn＋２１ｂn

　　ｂn+1＝３ａn＋８ｂn

　　ａn+1＝８ａn＋２１ｂn＝８ａn＋２１（３ａn-1＋８ｂn-1）

　＝8ａn-ａn-1＋８（８ａn-1＋２１ｂn-1）＝１６ａn-ａn-1

　　ｂn+1＝３ａn＋８ｂn＝３（８ａn-1＋２１ｂn-1）＋８ｂn

　＝８（３ａn-1＋８ｂn-1）＋８ｂn-ｂn-1）＝１６ｂn-ｂn-1

より

　　ａn+1＝１６ａn−ａn-1，ｂn+1＝１６ｂn−ｂn-1

（８＋３√７）^1=（８＋３√７）→(8,3)

（８＋３√７）^2=（127＋48√７）→(127,48)

　α，βを２次方程式ｘ^2−１６ｘ＋１＝０の根8±３√７として，初期値をａ1＝8，ａ2＝127，ｂ1＝3，ｂ2＝48とすると

　　ａn／ｂn→　√7

となります．

　近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

が成立するならば，αは無理数です（ディリクレの定理）．

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　α，βを２次方程式ｘ^2−16ｘ+１＝０の根8±３√７として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝８＋３√７，β＝８−３√７，初期値をａ1＝８，ａ2＝１２７とすると

　　ａn＝１／６√７｛（８＋３√７）^n-1（６３＋2４√７）-（８−３√７）^n-1（６３-2４√７）｝

a1=8、a2=127

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

初期値をｂ1＝3，ｂ2＝４８とすると

　　ｂn＝１／６√７｛（８＋３√７）^n-1（２４＋９√７）−（８−３√７）^n-1（２４-９√７）｝

ｂ1=3、ｂ2=4８

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