ａn^2−６ｂn^2＝１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（５，２）である．

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【１】√６に収束する数列

√6の最良近似では

　　（５＋２√６）^n＝ａn＋ｂn√６

　　（５−２√６）^n＝ａn−ｂn√６

これらの数列は

　　ａn^2−３ｂn^2＝（１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√６

ですから，√６に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．

　　ａn+1＋√６ｂn+1＝（５＋２√６）（ａn＋√６ｂn）

　　　　　　　　　　＝（５ａn＋１２ｂn）＋√６（２ａn＋５ｂn）

より

　　ａn+1＝５ａn＋１２ｂn

　　ｂn+1＝２ａn＋５ｂn

　　ａn+1＝５ａn＋１２ｂn＝５ａn＋１２（２ａn-1＋５ｂn-1）

　＝５ａn-ａn-1＋５（５ａn-1＋１２ｂn-1）＝１０ａn-ａn-1

　　ｂn+1＝２ａn＋５ｂn＝（１０ａn-1＋２４ｂn-1）＋５ｂn

　＝５（２ａn-1＋５ｂn-1）＋５ｂn-ｂn-1）＝１０ｂn-ｂn-1

より

　　ａn+1＝１０ａn−ａn-1，ｂn+1＝１０ｂn−ｂn-1

（５＋２√６）^1=（５＋２√６）→(5,2)

（５＋２√６）^2=（４９＋２０√６）→(49，20)

　α，βを２次方程式ｘ^2−１０ｘ＋１＝０の根５±２√６として，初期値をａ1＝５，ａ2＝４９，ｂ1＝２，ｂ2＝２０とすると

　　ａn／ｂn→　√６

となります．

　近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

が成立するならば，αは無理数です（ディリクレの定理）．

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　α，βを２次方程式ｘ^2−１０ｘ+１＝０の根５±２√６として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

初期値をａ1＝５，ａ2＝４９とすると

　　ａn＝１／4√６｛（α）^n-1（24+10√6）-（β）^n-1（4-10√6）｝

a1=5、a2=49

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

初期値をｂ1＝２，ｂ2＝２０とすると

　　ｂn＝１／4√６｛（α）^n-1（10+4√6）−（β）^n-1（10-4√6）｝

ｂ1=2、ｂ2=20

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