ａn^2−３ｂn^2＝１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（２，１）である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】√３に収束する数列

√√３の最良近似では

　　（２＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３

　　（２−√３）^n＝ａn−ｂn√３

これらの数列は

　　ａn^2−３ｂn^2＝（１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√３

ですから，√３に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．

　　ａn+1＋√３ｂn+1＝（２＋√３）（ａn＋√３ｂn）

　　　　　　　　　　＝（２ａn＋３ｂn）＋√３（ａn＋２ｂn）

より

　　ａn+1＝２ａn＋３ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋２ｂn

　　ａn+1＝２ａn＋３ｂn＝2ａn＋３（ａn-1＋２ｂn-1）

　＝２ａn-ａn-1＋２（２ａn-1＋３ｂn-1）＝４ａn-４ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋２ｂn＝（２ａn-1＋３ｂn-1）＋２ｂn

　＝２（ａn-1＋２ｂn-1）＋２ｂn-ｂn-1）＝４ｂn＋ｂn-1

より

　　ａn+1＝４ａn−ａn-1，ｂn+1＝４ｂn−ｂn-1

（２＋√３）^1=（２＋√３）→(2,1)

（２＋√３）^2=（7＋4√３）→(7,4)

　α，βを２次方程式ｘ^2−４ｘ＋１＝０の根２±√３として，初期値をａ1＝２，ａ2＝７，ｂ1＝１，ｂ2＝４とすると

　　ａn／ｂn→　√３

となります．

　近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

が成立するならば，αは無理数です（ディリクレの定理）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　α，βを２次方程式ｘ^2−４ｘ+１＝０の根２±√３として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

（２＋√３）^1=（２＋√３）→(2,1)

（２＋√３）^2=（7＋4√３）→(7,4)

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝２＋√３，β＝２−√３，初期値をａ1＝２，ａ2＝７とすると

　　ａn＝１／２√３｛（２＋√３）^n-1（３＋2√３）-（2−√3）^n-1（３-2√３）｝

a1=2、a2=7

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

初期値をｂ1＝１，ｂ2＝４とすると

　　ｂn＝１／２√３｛（２＋√３）^n-1（２＋√３）−（2−√3）^n-1（２-√３）｝

ｂ1=1、ｂ2=4

　ここで，ｎ→∞のとき（２−√3）^n→０ですから

　　ａn／ｂn→　√３

となるのを確かめることができます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝