√２＝ａ／ｂ，すなわち，ａ^2＝２ｂ^2であれば√２そのものになりますが，これを満たす整数はありません．そこで，

　　ａ^2−２ｂ^2＝±１

を満たす整数を考えます．

　（ａ，ｂ）＝（３，２）が最小解ですが，以後（７，５），（１７，１２），・・・と続きます．

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　　この数列のある項をａ／ｂとすれば，次の項は

　　（ａ＋２ｂ）／（ａ＋ｂ）

となり，（ａ，ｂ）＝（３，２），（７，５），（１７，１２），（４１，２９），（９９，７０），（２３９，１６９）・・・と続いていきます．

　その際，

　　ａ^2−２ｂ^2＝１とすると（ａ＋２ｂ）^2−（ａ＋ｂ）^2＝−１

　　ａ^2−２ｂ^2＝−１とすると（ａ＋２ｂ）^2−（ａ＋ｂ）^2＝１

になり，交互に符号が変わります．すなわち，√２より交互に大きいか小さいということになります．

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　　　　N=1　　　　　　　 N=-1　　　　　　 　N=+/-1

　　　(3+2√2)^n　　(1+√2)(3+2√2)^n　　　(1+√2)^n

n=0　　(1,0)　　　　　　　　(-1,0)　　　　　　　　(1,0)

n=1　　(3,2)　　　　　　　　(1,1)　　　　　　 　　(1,1)　

n=2　　(17,12)　　　　　　　(7,5)　　　　　　　　(3,2)

n=3　　(99,70)　　　　　　　(41,29)　　　　 　　(7,5)　

n=4　　(577,408)　　　　　　(239,169)　　　　　(17,12)

n=5　　(3363,2378　　　　　(1393,985)　　　　 (41,29)

　　（ａ＋２ｂ）／（ａ＋ｂ）はN=+/-1に対応している

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