高次分数列

　　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

　　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋６ｐｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋２ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋１２ｐ^2ｑ^2＋４ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋２ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋２０ｐ^3ｑ^2＋２０ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋２０ｐ^2ｑ^3＋４ｑ^5）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋＋３０ｐ^4ｑ^2＋６０ｐ^2ｑ^4＋８ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋４０ｐ^3ｑ^3＋２４ｐｑ^5）

は驚異的なスピードで√２に近づきます．

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　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

は２次分数列になっています．ここで、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。

　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋ｑ^2）／２ｐｑ

　　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋６ｐｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋２ｑ^2）

でも、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。すなわち、

　　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋3ｐｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋１２ｐ^2ｑ^2＋４ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋２ｑ^2）

でも、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。

　　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋６ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋２０ｐ^3ｑ^2＋２０ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋２０ｐ^2ｑ^3＋４ｑ^5）

でも、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。

　　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋１０ｐ^3ｑ^2＋５ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋１０ｐ^2ｑ^3＋ｑ^5）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋３０ｐ^4ｑ^2＋６０ｐ^2ｑ^4＋８ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋４０ｐ^3ｑ^3＋２４ｐｑ^5）

でも、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。

　　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋１５ｐ^4ｑ^2＋１５ｐ^2ｑ^4＋ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋２０ｐ^3ｑ^3＋６ｐｑ^5）

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２ｑ^2→q^2,q→q　

逆に言えば２ｑ^2←q^2,q←qとすればよいことになります

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正接のｎ倍角公式は，パスカルの三角形を用いて，次のように書くことができる．

　　ｔａｎｎα＝（nC1ｔａｎα−nC3ｔａｎ^3α＋nC5ｔａｎ^5α−・・・）／（nC0−nC2ｔａｎ^2α＋nC4ｔａｎ^4α−・・・）

　分母・分子の係数は，２項係数の符号が対で交代するパスカルの正接三角形

　　　　　　　　　　　　１

　　　　　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　１　　　２　　　−１

　　　　　　１　　　３　　　−３　　　−１

　　　　１　　　４　　　−６　　　−４　　　１

　　１　　　５　　−１０　　−１０　　　５　　　１

の形に並べることができる．ほとんどの教科書から消えてしまったが，美しい公式である．

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（nC1ｔａｎα−nC3ｔａｎ^3α＋nC5ｔａｎ^5α−・・・）＝ｔａｎｎα（nC0−nC2ｔａｎ^2α＋nC4ｔａｎ^4α−・・・）

tana=tとおくと

cotna(nC1t−nC3t^3+nC5t^5−・・・)=nC0−nC2t^2＋nC4t^4−・・・

(1-t)^n=1-(n,1)t+(n,2)t^2-(n,3)t^3+・・・

符号をうまく制御できない

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