高次分数列

　　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

　　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋６ｐｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋２ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋１２ｐ^2ｑ^2＋４ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋２ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋２０ｐ^3ｑ^2＋２０ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋２０ｐ^2ｑ^3＋４ｑ^5）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋＋３０ｐ^4ｑ^2＋６０ｐ^2ｑ^4＋８ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋４０ｐ^3ｑ^3＋２４ｐｑ^5）

は驚異的なスピードで√２に近づきます．

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　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

は２次分数列になっています．ここで、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。

　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋ｑ^2）／２ｐｑ

　　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋６ｐｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋２ｑ^2）

でも、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。すなわち、

　　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋3ｐｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋１２ｐ^2ｑ^2＋４ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋２ｑ^2）

でも、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。

　　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋６ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋２０ｐ^3ｑ^2＋２０ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋２０ｐ^2ｑ^3＋４ｑ^5）

でも、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。

　　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋１０ｐ^3ｑ^2＋５ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋１０ｐ^2ｑ^3＋ｑ^5）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋３０ｐ^4ｑ^2＋６０ｐ^2ｑ^4＋８ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋４０ｐ^3ｑ^3＋２４ｐｑ^5）

でも、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。

　　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋１５ｐ^4ｑ^2＋１５ｐ^2ｑ^4＋ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋２０ｐ^3ｑ^3＋６ｐｑ^5）

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２ｑ^2→q^2,q→q　

逆に言えば２ｑ^2←q^2,q←qとすればよいことになります

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同様に√3や√5に対する収束加速法を構成することができる。ペル方程式を考えると√5のほうが適していると思われる。

5ｑ^2←q^2,q←qとすればよいことになります

　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋５ｑ^2）／２ｐｑ

　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋１５ｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋５ｑ^2）

　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋３０ｐ^2ｑ^2＋２５ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋５ｑ^2）

　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋５０ｐ^3ｑ^2＋１２５ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋５０ｐ^2ｑ^3＋２５ｑ^5）

　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋７５ｐ^4ｑ^2＋３７５ｐ^2ｑ^4＋１２５ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋１００ｐ^3ｑ^3＋１５０ｐｑ^5）

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p=1,q=1から始めると　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋５ｑ^2）／２ｐｑ

1/1,6/2,56/24,6016/2688,72318976/32342016,・・・

1+√5は(p^2+2pq+5q^2)/2pq

φは(p^2+2pq+5q^2)/4pqで有理数近似することができる。

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√5の近似分数について考えてみます。

(p-q√5)^n=p^n-(n,1)p^n-1q√5+(n,2)p^n-2(q√5)^2-・・・+(n,n-1)p(q√5)^n-1+(q√5)^n

={p^n+(n,2)p^n-2・5q^2+・・・}-√5{(n,1)p^n-1q+・・・}→0

したがって、

{p^n+(n,2)p^n-2・5q^2+・・・}/{(n,1)p^n-1q+・・・}

は√5の近似分数となる

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