高次分数列

　　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

　　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋６ｐｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋２ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋１２ｐ^2ｑ^2＋４ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋２ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋２０ｐ^3ｑ^2＋２０ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋２０ｐ^2ｑ^3＋４ｑ^5）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋＋３０ｐ^4ｑ^2＋６０ｐ^2ｑ^4＋８ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋４０ｐ^3ｑ^3＋２４ｐｑ^5）

は驚異的なスピードで√２に近づきます．

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　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

は２次分数列になっています．ここで、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。

　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋ｑ^2）／２ｐｑ

　　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋６ｐｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋２ｑ^2）

でも、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。すなわち、

　　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋3ｐｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋１２ｐ^2ｑ^2＋４ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋２ｑ^2）

でも、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。

　　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋６ｐ^2ｑ^2＋ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋２０ｐ^3ｑ^2＋２０ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋２０ｐ^2ｑ^3＋４ｑ^5）

でも、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。

　　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋１０ｐ^3ｑ^2＋５ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋１０ｐ^2ｑ^3＋ｑ^5）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋３０ｐ^4ｑ^2＋６０ｐ^2ｑ^4＋８ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋４０ｐ^3ｑ^3＋２４ｐｑ^5）

でも、２ｑ^2→q^2とおけは二項係数そのものとなります。

　　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋１５ｐ^4ｑ^2＋１５ｐ^2ｑ^4＋ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋２０ｐ^3ｑ^3＋６ｐｑ^5）

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２ｑ^2→q^2,q→q　

逆に言えば２ｑ^2←q^2,q←qとすればよいことになります

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