|2b^2-a^2|≧1が成り立つから

|√2-a/b|=|2b^2-a^2|/b^2(√2+a/b)≧1/b^2(√2+a/b)＞0

となり、√2と任意の有理数a/bの間には常に隙間があることが示せる。

与えられた無理数と有理数の間の距離に対して、有効な下界を与えることは大変重要である。

|π-p/q|＜1/q^20には有限個の整数解しかないことがわかっている(ミニョット、1974年)

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[1]すべての有理数a/bに対して下界

|log2-a/b|＞1/10^10・b^5.8

[2]すべての有理数a/bに対して下界

|2^1/3-a/b|＞c/b^296

[3]すべての有理数a/bに対して下界

|π-a/b|＞1/b^42

[4]十分大きな分母を持つすべての有理数a/bに対して下界

|π-a/b|＞1/b^30

[5]すべての有理数a/bに対して下界

|π-a/b|＞1/b^20.6

[6]b＞a＞96のとき、すべての有理数a/bに対して下界

|π-a/b|＞1/b^20.6→ν(π)≦20、 ν(π^2)≦17.8

[7]十分大きな分母を持つすべての有理数a/bに対して下界

|π-a/b|＞1/b^8.0161に改良された

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