α=(1+√5)/2, β=(1-√5)/2

Fn=(α^n-β^n)/(α-β) (Fibonacci)

Ln= α^n+β^n (Fibonacci-Lucas)

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ｋが奇数のとき、

x^2-Lkxy-y^2=(-1)^nFk^2

x=Fn+k, y=Fn

ｋが偶数のとき、

x^2-Lkxy+y^2=(-1)^nFk^2

x=Fn, y=Fn+k or x=Fn+k, y=Fn

が成り立つことを示してみたい。

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ｋが奇数のとき、

x^2-Lkxy-y^2=(-1)^nFk^2

x=Fn+k, y=Fn

Fn+k=(α^(n+k)-β^(n+k))/√5

Fn=(α^n-β^n)/√5

Fk=(α^k-β^k)/√5

Lk=(α^k+β^k)

左辺

(α^(2n+2k)-2α^(n+k)β^(n+k)+β^(2n+2k))/5-(α^k+β^k)(α^(n+k)-β^(n+k))(α^n-β^n)/5-(α^2n-2αnβn+β^2n)/5

=(α^(2n+2k)-2α^(n+k)β^(n+k)+β^(2n+2k))/5-(α^(n+k)-β^(n+k))(α^(n+k)-β^(n+k)-α^kβ^n+α^nβ^k)/5-(α^2n-2α^nβ^n+β^2n)/5

=(α^(2n+2k)-2α^(n+k)β^(n+k)+β^(2n+2k))/5-(α^(2n+2k)-α^(n+k)β^(n+k)-α^(n+2k)β^n+α^(2n+k)β^k-α^(n+k)β^(n+k)+β^(2n+2k)+α^kβ^(2n+k)-α^nβ^(n+2k))/5-(α^2n-2α^nβ^n+β^2n)/5

=(α^(n+2k)β^n-α^(2n+k)β^k-α^kβ^(2n+k)+α^nβ^(n+2k))/5-(α^2n-2α^nβ^n+β^2n)/5

={(αβ)^n(α^2k+β^2k)-(αβ)^k(α^2n+β^2n)-(α^2n-2α^nβ^n+β^2n)}/5

kは奇数であるから(αβ)^k=-1

={(-1)^n(α^2k+β^2k)+2(-1)^n}/5

={(-1)^n(α^2k+β^2k+2)}/5

={(-1)^n(α^2k+β^2k-2(αβ)^k)}/5＝右辺

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ｋが偶数のとき、

x^2-Lkxy+y^2=(-1)^nFk^2

左辺

(α^(2n+2k)-2α^(n+k)β^(n+k)+β^(2n+2k))/5-(α^k+β^k)(α^(n+k)-β^(n+k))(α^n-β^n)/5+(α^2n-2αnβn+β^2n)/5

=(α^(2n+2k)-2α^(n+k)β^(n+k)+β^(2n+2k))/5-(α^(n+k)-β^(n+k))(α^(n+k)-β^(n+k)-α^kβ^n+α^nβ^k)/5+(α^2n-2α^nβ^n+β^2n)/5

=(α^(2n+2k)-2α^(n+k)β^(n+k)+β^(2n+2k))/5-(α^(2n+2k)-α^(n+k)β^(n+k)-α^(n+2k)β^n+α^(2n+k)β^k-α^(n+k)β^(n+k)+β^(2n+2k)+α^kβ^(2n+k)-α^nβ^(n+2k))/5+(α^2n-2α^nβ^n+β^2n)/5

=(α^(n+2k)β^n-α^(2n+k)β^k-α^kβ^(2n+k)+α^nβ^(n+2k))/5+(α^2n-2α^nβ^n+β^2n)/5

={(αβ)^n(α^2k+β^2k)-(αβ)^k(α^2n+β^2n)+(α^2n-2α^nβ^n+β^2n)}/5

kは偶数であるから(αβ)^k=1

={(-1)^n(α^2k+β^2k)-2(-1)^n}/5

={(-1)^n(α^2k+β^2k-2)}/5

={(-1)^n(α^2k+β^2k-2(αβ)^k)}/5＝右辺

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