有限体上の解の個数を調べてみます。次に3次曲線・・・

0^3=0,1^3=1,2^3=8,3^3=0,4^3=1,5^3=8,6^3=0,7^3=1,8^3=8

3・0=0, 3・1=3, 3・2=6,3・3=0, 3・4=3, 3・5=6, 3・6=0, 3・7=3,3・8=6

x^3-3x=0,-2,2,0,-2,2,0,-2,2

x^3-3x+1=1,-1,3,1,-1,3,1,-1,3

x^3-2=-2,-1,6,-2,-1,6,-2,-1,6より、解は存在しない

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mod9でなくmodpで考えると,x^3-2=0のFp内での解の個数はｐをNで割った余りでは決定できない

すなわち、これは類体論の範疇外にあることを示している

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類体論の範疇外を扱う理論が非可換類体論です。

[定理]qΠ(1-q^6n)(1-q^18n)=Σanq^nとする。このとき,p≠2,3に対して

#{x＜Fp| x^3=2}=1+ap

が成り立つ。

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整数係数モニック既約多項式に対して、以下のいずれかが成り立つ。

[a]#{x＜Fp| F(x)=0}はｐをNで割った余りのみで決まる

[b]重さ１の尖点形式g(x)=Σbnq^nが存在してＮを割らない任意の素数ｐに対して#{x＜Fp| F(x)=0}=1+bpが成り立つ

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２変数方程式y^2+y=x^3-x^2nに対して重さ2の尖点形式h(z)=Σcnq^n=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2が存在して,

任意の素数p≠11に対して

#{(x,y)＜Fp^2| F(x)=0}=1-cp+pが成り立つ

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