有限体上の解の個数を調べてみます。まずは円錐曲線から・・・

[Q]x^2=-1のF5内での解はいくつあるか？

[A]0^2=0,1^2=1,2^2=4=-1,3^2=4=-1,4^2=1より、x=2,3の２個

[Q]x^2=2のF5内での解はいくつあるか？

[A]0^2=0,1^2=1,2^2=4=-1,3^2=4=-1,4^2=1より、解は存在しない

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F5でなくFpで考えると

[定理]x^2=-1のFp内での解の個数はｐを４で割った余りで決まる。

#{x＜Fp| x^2=-1}=2 (p=1mod4)

#{x＜Fp| x^2=-1}=0 (p=3mod4)

#{x＜Fp| x^2=-1}=1 (p=2)

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F5でなくFpで考えると

[定理]x^2=2のFp内での解の個数はｐを8で割った余りで決まる。

#{x＜Fp| x^2=2}=2 (p=1,7mod8)

#{x＜Fp| x^2=2}=0 (p=3,5mod8)

#{x＜Fp| x^2=2}=1 (p=2)

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