■マルコフ方程式の話(その31)

x^2+y^2+z^2=3xyzの解とフィボナッチ数列の関係も生徒は詳しいと思います。

x^2+y^2+z^2=xyzの整数解が無限個あることの証明は東大の過去問です。

講演タイトルを教えてください。(T)

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 2次のディオファントス方程式x^2+y^2+z^2=3xyzの解として現れる

  1,2,5,13,29,34,89,169,194,233,433,610,985,・・・

はマルコフ数と呼ばれます.

このうち、

[1]1,2,5,13,34,89,233,610,1597,・・・はフィボナッチ数のひとつ置きの数列になっていて.項比は

  φ^2=(3+√5)/2

に近づきます。

また、

[2]2,5,13,29,34,89,169,194,233,433,610,985,1325,・・・

は2乗和で表される数列で、ペル数列のひとつ置きの数列になっています。

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x^2+y^2+z^2=xyzの整数解(x,y,z)があれば(3x,3y,3z),(9x,9y,9z),・・・も解となる。

(3,3,3)(3,3,6)(3,6,15)も解となる。

また、(x/3,y/3,z/3)はx^2+y^2+z^2=3xyzの解となる。(1,1,1)(1,1,2)(1,2,5)

x^2+y^2+z^2=xyzの整数解(x,y,z)があれば(x,y,3xy-z)も解となる。

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