リュカ・レーマーの判定法は効率が良いため、ほとんどいつの時点でも知られている最大の巣数はメルセンヌ素数であった。リュカ・レーマーの判定法の証明はペル方程式x^2-3y^2=1の解を用いる意外なものになっている?

　ａn^2−３ｂn^2＝１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（２，１）である．

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【１】√３に収束する数列

√√３の最良近似では

　　（２＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３

　　（２−√３）^n＝ａn−ｂn√３

より

　　ａn+1＋√３ｂn+1＝（２＋√３）（ａn＋√３ｂn）

　　　　　　　　　　＝（２ａn＋３ｂn）＋√３（ａn＋２ｂn）

より

　　ａn+1＝２ａn＋３ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋２ｂn

　　ａn+1＝４ａn−ａn-1，ｂn+1＝４ｂn−ｂn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−４ｘ＋１＝０の根２±√３として，初期値をａ1＝１，ａ2＝２，ａ3＝７，ｂ1＝０，ｂ2＝１，ｂ3＝４とすると

　　ａn／ｂn→　√３

となります．

　近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

が成立するならば，αは無理数です（ディリクレの定理）．

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　α，βを２次方程式ｘ^2−４ｘ+１＝０の根２±√３として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝２＋√３，β＝２−√３，初期値をａ1＝１，ａ2＝２とすると

　　ａn＝１／(２)｛（２＋√３）^n-1+（２ー√３）^n-1｝

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

初期値をｂ1＝0，ｂ2＝1とすると

　　ｂn＝１／２√３｛（２＋√３）^n-1−（２ー√３）^n-1｝

　ここで，ｎ→∞のとき（２−√３）^n→０ですから

　　ａn／ｂn→　√３

となるのを確かめることができます．

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