山�ｱ憲久さん（積み木インテリアギャラリー）よりメールをいただいた。

英語版wiki の記載です。

The following points are vertices of a tetartoid pentagon under tetrahedral symmetry:

(a, b, c); (-a, -b, c); (-n/d1, -n/d1, n/d1?); (-c, -a, b); (-n/d2, n/d2, n/d2),

under the following conditions:[6]

0 ≦ a ≦ b ≦ c,

n = a2c - bc2,

d1 = a2 - ab + b2 + ac - 2bc,

d2 = a2 + ab + b2 - ac - 2bc,

nd1d2 ≠ 0.

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この座標で平面性が保たれるのだろう。

正十二面体の条件

a=0,b=(3-√5)/2,c=1を入れると

ちゃんと正十二面体の解が得られたので、座標やプログラムはあっているはずである。

ところが、緑の頂点の条件を内角90°、二面角90°にすると五角形は四角形に退化してしまう。

これも、それも正しい結果と思われます。

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n/d1=e,n/d2=fとおくと

緑頂点(f,f,f)

黄頂点(e,-e,e)

緑頂点をとりかこむ白頂点

(a,b,c)

(b,c,a)

(c,a,b)

黄頂点をとりかこむ白頂点

(-a,-b,c)

(b,-c,-a)

(c,a,b)

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(a,b,c)

(-a,-b,c)

(c,a,b)を通る平面x+By+Cz=-Dを考える。=D+yB+zC=-x

D+bB+cC=-a

D -bB+cC=a

D+aB+bC=-c

Δ=-b^2+bc+ac+bc-b^2-ac=-2b^2+2bc

-a+bB+cC

a -bB+cC

-c+aB+bC

D=(ab^2-bc^2+a^2c-bc^2-ab^2+a^2c)/Δ

D=(-2bc^2+2a^2c)/Δ

D -aB+cC

D+aB+cC

D -cB+bC

B=(ab-ac-c^2-ac+ab+c^2)/Δ

B=(2ab-2ac)/Δ

D+bB -aC

D -bB+aC

D+aB -cC

C=(bc+ab-a^2-ab+bc-a^2)/Δ

C=(2bc-2a^2)/Δ

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この平面の方程式は

x+(2ab-2ac)/Δy+(2bc-2a^2)/Δz=-(-2bc^2+2a^2c)/Δ

(x,x,x)を通るから

{1+(2ab-2ac)/Δ+(2bc-2a^2)/Δ}x=-(-2bc^2+2a^2c)/Δ

{(-2b^2+2bc)+(2ab-2ac)+(2bc-2a^2)}x=-(-2bc^2+2a^2c)

{-2a^2-2b^2+4bc)+(2ab-2ac)}x=-(-2bc^2+2a^2c)

{a^2+b^2-2bc)+(-ab+ac)}x=(-bc^2+a^2c)

n = a2c - bc2,

d1 = a2 - ab + b2 + ac - 2bc,

d2 = a2 + ab + b2 - ac - 2bc,

これはn/d2でなく,n/d1である.緑頂点(e,e,e)

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(x,-x,x)を通るから

{1+(2ab-2ac)/Δ-(2bc-2a^2)/Δ}x=-(-2bc^2+2a^2c)/Δ

{(-2b^2+2bc)-(2ab-2ac)+(2bc-2a^2)}x=-(-2bc^2+2a^2c)

{-2a^2-2b^2+4bc)-(2ab-2ac)}x=-(-2bc^2+2a^2c)

{a^2+b^2-2bc)+(ab-ac)}x=(-bc^2+a^2c)

n = a2c - bc2,

d1 = a2 - ab + b2 + ac - 2bc,

d2 = a2 + ab + b2 - ac - 2bc,

これはn/d1でなく,n/d2である.黄頂点(f,-f,f)

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位相的に同じであれば問題ないので、適当に切稜法でやってみます。(山�ｱ)

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できあがりました。

正十二面体の立方体切稜法で、３０度傾けて作りました。

立方体上に残る稜の位置関係を見ると、何も切稜しない、つまり切稜角ゼロのときが加工前の立方体なわけですから、少しでも切稜すれば緑色の頂点は内角も二面角も鈍角となってしまうことがわかりました。ありがとうございました。(山�ｱ)

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a=btanθ

これだけでは頂点の位置は定まらないのでなかろうか？

もし切稜角φをさだめると

(b,-a,0)

(1,B,C)=(1,(2ab-2ac)/Δ,(2bc-2a^2)/Δ)=((-2b^2+2bc),(2ab-2ac),(2bc-2a^2))

{b(-2b^2+2bc)-a(2ab-2ac)}=(a^2+b^2)^1/2{(-2b^2+2bc)^2+(2ab-2ac)^2+(2bc-2a^2)^2}^1/2cos(π/2-φ)

a/bは簡単には求められない

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はい、その通りです。立方体の面上に残る稜の捩じり角が30度。

切稜二面角は144度でした。この２つで辺長比は自動的に決まるはずです。(山�ｱ)

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θ=30,φ=18,c=1

{-2b^3+2b^2)-btanθ(2b^2tanθ-2btanθ)}=(b^2(tanθ)^2+b^2)^1/2{(-2b^2+2b)^2+(2b^2tanθ-2btanθ)^2+(2b-2b^2(tanθ)^2}^1/2cos(72)

この方程式を解いてbを求めることになる

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内角は、９３，１３０，５３，１０８，１５６度,二面角は、１４４，９３，１１５度程度です。(山�ｱ)

(b,-a,0)

(1,B,C)=(1,(2ab-2ac)/Δ,(2bc-2a^2)/Δ)=((-2b^2+2bc),(2ab-2ac),(2bc-2a^2))

(b,-a,0)ではなく(0,0,1)でよいので、方程式はもっと簡単になり、計算値と実測値が一致した。

(2bc-2a^2)={(-2b^2+2bc)^2+(2ab-2ac)^2+(2bc-2a^2)^2}^1/2cos(π/2-φ)

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