１３＝２^2＋３^2

であるが，

　　１３＝（１８／５）^2＋（１／５）^2

　　１３＝（１７／５）^2＋（６／５）^2

とも分解される．

それでは３を2つの有理数の平方に分解することは可能だろうか？

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　１３の場合にならって

3x^2=y^2+z^2

と分解されるとする．mod4を考えると

x=0→x^2=0→3x^2=0 (mod4)

x=1→x^2=1→3x^2=3 (mod4)

x=2→x^2=0→3x^2=0 (mod4)

x=3→x^2=1→3x^2=3 (mod4)

3x^2=0,3 (mod4)となる。

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一方、y^2+z^2=0,1,2 (mod4)

であるから、これは不可能である。

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x=0→x^2=0→13x^2=0 (mod4)

x=1→x^2=1→13x^2=1 (mod4)

x=2→x^2=0→13x^2=0 (mod4)

x=3→x^2=1→13x^2=3 (mod4)

13x^2=0,1 (mod4)となる。

一方、y^2+z^2=0,1,2 (mod4)

であるから、これは可能である。

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