【１】フォードの円列

　フォードの円列と直線との接点は常に有理数であり，区間［０，１］のすべての有理数はフォードの円列とｘ軸との接点として得られる．

　たとえば，ｘ^2＋（ｙ−１／２）^2＝（１／２）^2と（ｘ−１）^2＋（ｙ−１／２）^2＝（１／２）^2によって表されるような２円から始め，隣接する２項ｐ／ｑとｒ／ｓの間に中間分数

　　（ｐ＋ｒ）／（ｑ＋ｓ）

を挿入すると，ファレイ数列

［０／１，１／１］

→［０／１，１／２，１／１］（２位のファレイ数列）

→［０／１，１／３，１／２，２／３，１／１］（３位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１］（５位のファレイ数列）

→［０／１，１／５，１／４，２／７，１／３，３／８，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，５／８，２／３，５／７，３／４，４／５，１／１］（８位のファレイ数列）

が得られる．

　ｎ位のファレイ数列とは分子と分母がｎを超えない既約な正の有理数全体を大きさの順に並べたものである．たとえば，位数４のファレイ数列は

　　［・・・，０／１，１／４，１／３，１／２，２／３，３／４，１／１，・・・］

位数６のファレイ数列は

　　［・・・，０／１，１／６，１／５，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，４／５，５／６，１／１，・・・］

位数７のファレイ数列は

　　［・・・，０／１，１／７，１／６，１／５，１／４，２／７，１／３，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，２／３，５／７，３／４，４／５，５／６，６／７，１／１，・・・］

　位数ｎのファレイ数列の長さは，オイラー関数φ（ｎ）を用いて，

　　１＋φ（１）＋φ（２）＋・・・＋φ（ｎ−１）＋φ（ｎ）

　〜３（ｎ／π）^2〜０．３０３９６ｎ^2

になる．この近似はｎが大きくなるにつれてよくなっていく．

　０と１の間にある既約分数で分母かｎを越えない分数というだけでなく，わざわざ分子まで入れてある理由は，ファレイ数列を拡張させるためである．たとえば，位数５のファレイ数列は

　　［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１，５／４，４／３，３／２，５／３，２／１，５／２，３／１，４／１，５／１］

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【２】ファレイ数列とディオファントス近似

　ファレイ数列では相隣り合う２項［ｍ1／ｎ1，ｍ2／ｎ2］の分母と分子からなる行列式の値ｍ1ｎ2−ｍ2ｎ1は±１である．すなわち，交差積ｍ1ｎ2とｍ2ｎ1は連続する整数になる．

　また，フォードの円列では（ｍ1／ｎ1，１／２ｎ1^2）を中心とする半径１／２ｎ1^2の円と（ｍ2／ｎ2，１／２ｎ2^2）を中心とする半径１／２ｎ2^2の円が接することになる．フォードの円列は重なり合うことはなく，この２つの円の間に入る一番大きな円はその中間分数（ｍ1＋ｍ2）／（ｎ1＋ｎ2）の円である．

　フォードの円列において，直線ｙ＝１は∞＝１／０に対応すると解釈しよう．すると，有理数ｐ／ｑに対応するフォードの円は半径１／２ｑ^2で，ｘ軸上の点ｐ／ｑにおいて接する円となる．

　同様に分母が高々ｄの有理数からなる位数ｄのファレイ数列の各項は１／ｄ^2≦ｙ＜１／（ｄ＋１）^2の任意の水平線と交わるフォードの円と対応することになる．

　これにより，いくつかのディオファントス近似に関する定理は，（双曲）幾何学的に自明なものとなる．たとえば，任意の無理数αに対して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2

を満たすものが無数に存在するという定理がそうである．直線ｘ＝αが連接する２つのフォードの円ｐ／ｑ，ｒ／ｓのどちらか一方に交わる．それがｐ／ｑであるとすると｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2が成り立たなければならないからである．

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