ここでは，√５に収束する数列を考えることにします．

2^2-5・1^2=-1

9^2-5・4^2=+1

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x^2-3xy+y^2=(-1)^nをペル方程式に変換する

{(2x-3y)/2}^2-5{y/2}^2=(-1)^n

X^2-5Y^2=(-1)^n

X＝1／2｛{(2+√5}^(n)+{(2-√5)}^(n)｝

Y=１／2√5{(2+√5)}^(n)-{(2-√5}^(n)｝

φ^3=2+√5,　(-1/φ)^3=2-√5　

X＝√5／2√5｛φ^(3n)+{-1/φ^(3n)｝

Y=１／2√5{φ^(3n)-{-1/φ}^(3n)｝

y=１／√5{φ^(3n)-{-1/φ}^(3n)｝

x=X+3y/2=1/2｛φ^(3n)+{-1/φ^(3n)｝+3／2√5{φ^(3n)-{-1/φ}^(3n)｝

=(3+√5) ／2√5{φ^(3n)}+(-3+√5) ／2√5{(-1/φ)^(3n)｝

2φ^2=3+√5,　2(-1/φ)^2=3-√5

x=1／√5{φ^(3n+2)}-1 ／√5{(-1/φ)^(3n+2)｝

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y=2Y=１／√5{(2+√5)}^(n)-{(2-√5}^(n)｝

x=X+3Y=1／2｛{(2+√5}^(n)+{(2-√5)}^(n)｝+3／2√5{(2+√5)}^(n)-{(2-√5}^(n)｝

=(3+√5) ／2√5{(2+√5}^(n)-(3-√5)/2√5{(2-√5)}^(n)

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y=2Y=１／√5{φ^(3n)-{-1/φ}^(3n)｝=F3n

x=(3+√5) ／2√5{φ^(3n)-(3-√5)/2√5{(-１/φ)}^(3n)

x=φ^2 ／√5{φ^(3n)-(-1/φ)^2)/√5{(-１/φ)}^(3n)

x=1 ／√5{φ^(3n+2)-{(-１/φ)}^(3n+2)=F3n+2

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