ブジョー・ミニョット・シクセクの定理

フィボナッチ数のうち、N^mの形のものは０，a1=a2=１，a6=８，a12=１４４のみである。

これはフェルマー予想と同様の方針で証明されたとのことである

一方、１を除くと８はフィボナッチ数の中でただ一つの立方数、１４４はただ一つの平方数です。これは初等的手法による証明とのことである

ペル数ではどうだろうか？

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　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

はペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）と呼ばれます．P7=169=13^2は平方数です。

［１］ペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

の特性方程式

　　ｘ^2−２ｘ−１＝０

の２根を

　　γ＝１＋√２，δ＝１−√２

とおくと，ペル数列の一般項は，

　　Ｐn＝１／２√２（γ^n−δ^n）

また，連続する２項の比は

　　１＋√２

に次第に近づくことになります．

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フィボナッチ数列における平方数は1と144のみである。リュカ数列における平方数は4のみである。

この証明にはx^2-5y^4=±4,x^4-5y^2=±4の解が用いられている。

ペル数列における平方数169のみである。

この証明にはx^2-2y^4=1の解が用いられている。

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立方数となるフィボナッチ数は1と8のみである。

立方数となるリュカ数は1のみである。

ペル数は決して立方数とはならないことが証明されている。3次以上のベキ乗数にならないことも証明されている。

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リュングレンにより、

x^2=2y^4-1の正の整数解は(1,1),(239,13)しかないことが示されているが、その証明は難しい

y^2=Dx^4+1は2曲線y2=x(x^2-4D),y^2=x(x^2+16D)上に有利点がある場合にのみ、有理数解を持つ。

リュングレンはx^4-Dy^2=1がたかだか２個の解を持つことを示した。

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三角数tnが平方数m^2であれば、t3n+4m+1も平方数であり、tn,tn+2m,t3n+4m+1は等比級数をなす

なお、三角数の問題x(x+1)y(y+1)=z(z+1)はマルコフ型方程式x^2+y^2+z^2=2xyz+5と同値である

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