デュボア・レイモンは動物電気生理学のパイオニアの一人エミール・デュボア・レイモンのことであろう。私は学生の頃 、デュボア/デュボアの心電図学を読んで大変勉強になったことを思い出す。300-150-100-75-60-50といってもいまの医学生には通じないかもしれないが・・・

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　ここでは，

　　Ｃm＝∫(0,∞)｜ｄ／ｄｔ（ｓｉｎｔ／ｔ）^m｜ｄｔ−１

を考える．

　　Ｃ2＝（ｅ^2−７）／２＝０．１９４５２８０・・・　　（デュボア・レイモンの定数）

まずはm=1から

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【１】シンク関数の微分

　　ｄ／ｄｘ（ｓｉｎｘ／ｘ）＝ｃｏｓｘ／ｘ^2・（ｘ−ｔａｎｘ）

　ここで，ｇ（ｘ）＝ｘ−ｔａｎｘとおくと，

　　ｇ’（ｘ）＝１−（ｓｅｃｘ）^2≦０

よって，（０，π／２］でシンク関数は減少関数である．

　　ｓｉｎｘ／ｘ≧ｓｉｎ（π／２）／（π／２）＝２／π

　　ｓｉｎｘ／ｘ≧２／π　　　（ジョルダンの不等式）まずはm=1から

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【２】シンク関数の積分

　正弦積分とは，

　　Ｓｉ（ｘ）＝∫(0,t)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ

　　　　　　　＝ｘ−ｘ^3／３・３！＋ｘ^5／５・５！−・・・

として定義される特殊関数（初等関数によって表し得ない関数）である．また，その特殊値

　　Ｓｉ（∞）＝∫(0,∞)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ＝π／２

は，ディリクレ積分と呼ばれる．

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［補］

　シンク関数は

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Σ(-1)^mｘ^2m/(2m+1)!

　　　　　　　　＝１−１／３！ｘ^2 ＋１／５！ｘ^4 −・・・

　　　　　　　　＝１−１／６ｘ^2＋１／１２０ｘ^4−・・・

とベキ級数表示することが可能です．

　さらに，シンク関数

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝０

の解が±π，±２π，±３π，±４π，・・・となることを利用して，無限積表示すると

　　sinx/x=(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)(1-x^2/16π^2)･･･

　　　　　=Π(1-x^2/k^2π^2)

　ここで，

　　sinx/x=1-1/6x2+120x4-･･･　　（ベキ級数表示）

と

　　sinx/x=Π(1-x^2/k^2π^2)　　（無限積表示）

　　　　　=1-1/π^2(Σ1/k^2)x^2+･･･

の両辺を比較することにより，

　　Σ1/k^2=π^2/6，Σ1/k^4=π^4/90，･･･

が計算されます．

　Σ1/k^2はリーマンのゼータ関数ζ(2)に，Σ1/k^4はゼータ関数ζ(4)に相当します．すなわち，

　　ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，

以下，

　　ζ(6)=π^6/945，ζ(8)=π^8/9450，・・・

と続きます．

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