［参］加藤和也・黒川信重・斉藤毅「数論�T，Fermatの夢と類体論」岩波書店

によると

　　Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）

　　Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）^2＝π／２（ｅｘｐ（４π）＋４πｅｘｐ（２π）−１）／（ｅｘｐ（２π）−１）^2

の２つの公式は，

　　Σ(1,∞)１／ｎ^2＝π^2／６＝ζ(2)

のようにゼータ関数の値を直接表すものではありませんが，

　　Σ(1,∞)１／ｎ^2＝π^2／６＝ζ(2)

と同様の世界に属していて，ζの香りが漂っているように思われるとコメントされています．

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【２】公式集

　これらの解答を求めて，公式集で「有理式の無限級数」をあたってみました．

　　Σ(-∞,∞)１／（ｎ＋α）^2＝π^2／（ｓｉｎ（πα））^2

この公式ではα≠整数ですから，たとえば，

　　α＝１／２→　Σ(-∞,∞)１／（ｎ＋１／２）^2＝π^2＝６ζ(2)

　　Σ(-∞,∞)１／（ｎ＋α）^3＝π^3／（ｔａｎ（πα）（ｓｉｎ（πα））^2）

　　Σ(-∞,∞)１／（ｎ＋α）^4＝π^4／（１／（ｓｉｎ（πα））^4−２／３（ｓｉｎ（πα））^2）

　無限乗積の公式では

　　Π(1,∞)（１＋α^2／ｎ^2）＝ｓｉｎｈ（πα）／πα

　　Π(1,∞)（１−α^2／ｎ^2）＝ｓｉｎ（πα）／πα

　　Π(1,∞)（１＋α／ｎ）ｅｘｐ（−α／ｎ）＝ｓｉｎ（πα）／πα

　　Π(1,∞)（１−α／ｎ）ｅｘｐ（α／ｎ）＝ｓｉｎ（πα）／πα

　　Π(1,∞)ｃｏｓ（α／２^n）＝ｓｉｎ（α）／α

　　Π(1,∞)ｃｏｓｈ（α／２^n）＝ｓｉｎｈ（α）／α

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　　Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）

は

　　Σ(1,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／２ｔａｎｈ（π）−１／２

と等価の式ですが，

　　Σ(1,∞)１／（ａ^2＋ｎ^2）＝π／（２ａｔａｎｈ（ａπ））−１／（２ａ^2）

　　Σ(-∞,∞)１／（ａ^2＋ｎ^2）＝π／（ａｔａｎｈ（ａπ））

　　Σ(1,∞)（−１）^nｰ1／（ａ^2＋ｎ^2）＝−π／（２ａｓｉｎｈ（ａπ））＋１／（２ａ^2）

　　Σ(-∞,∞)（−１）^n／（ａ^2＋ｎ^2）＝π／（ａｓｉｎｈ（ａπ））

　また，これらと等価な公式

　　Σ(1,∞)１／（ａ^2−ｎ^2）＝π／（２ａｔａｎ（ａπ））−１／（２ａ^2）

　　Σ(-∞,∞)１／（ａ^2−ｎ^2）＝π／（ａｔａｎ（ａπ））

　　Σ(1,∞)（−１）^nｰ1／（ａ^2−ｎ^2）＝−π／（２ａｓｉｎ（ａπ））＋１／（２ａ^2）

　　Σ(-∞,∞)（−１）^n／（ａ^2−ｎ^2）＝π／（ａｓｉｎ（ａπ））

　　Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）^2＝π／２（ｅｘｐ（４π）＋４πｅｘｐ（２π）−１）／（ｅｘｐ（２π）−１）^2

と等価な

　　Σ(1,∞)１／（１＋ａ^2ｎ^2）^2＝π^2／（２ｓｉｎｈ（ｘ／ａ））^2＋π／（４ａｔａｎｈ（ｘ／ａ））−１／２

　　Σ(1,∞)１／（１−ａ^2ｎ^2）^2＝π^2／（２ｓｉｎ（ｘ／ａ））^2＋π／（４ａｔａｎ（ｘ／ａ））−１／２

などがみられました

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