平方数と立方数を、大きさの順に書けば

4,8,9,6,25,27,36,36,49,64,81,100,・・・

一方、素数ｐについて、p^3の約数の和1+p+p^2+p^3が平方数q^2となるものを探せば

1+7+7^2+7^3=20^2

が唯一のものである

p^4の約数の和1+p+p^2+p^3+p^4

が平方数q^2となるものを探せば

1+3+3^2+3^3+3^4=11^2

p=3はそのようになる唯一の素数である。

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x≧4,y≧2,

p,qを奇数素数とする

1+p+p^2+・・・+p^x=q^y

となるのはこれ以外にあるだろうか？

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pを素数とする

(p^r-1)/(p^d-1)という形で2通り以上で表せる素数は

31=(2^5-1)/(2-1)=(5^3-1)/(5-1)だけであろうか？

素数という条件を除けば

8191=(2^13-1)/(2-1)=(90^3-1)/(90-1)も答えになることがわかっている。

自明な表し方には

7=(2^3-1)/(2-1)=((-3)^3-1)/(-3-1)というのがあるが、・・・

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pnをｎ番目の素数とする。n=1-m

Π(pn+1)/(pn-1)は、m=1,2,3,4,8に対してそれぞれ整数になる。

ワグスタッフは

Π(pn^2+1)/(pn^2-1)=5/2をリーマンゼータ関数についての性質を用いずに、初等的に証明することを問題にしている

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