しかし、その後、新たな公式が見つかった。

フィボナッチ数列の連続する3項をx,y,ｚとする。

z^2=2y^2+xy-(-1)^n

（証明）x^2-3xz+z^2=(-1)^n

z^2=-x^2+3xz+(-1)^n

z^2=-x^2+3x(x+y)+(-1)^n

z^2=2x^2+3xy+(-1)^n

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リュカ数列については

z^2=2y^2+xy+5(-1)^n

z^2=2x^2+3xy-5(-1)^n

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