【１】１の分割

　とくに面白いのは「１」の単位分数分割です．

　　Σ１／ｘk＝１，ｘ1＜ｘ2＜・・・＜ｘn

　ｘnの最小値ｍ（ｎ）がいくらであるかは知られていません．ｍ（３）＝６，ｍ（４）＝１２，ｍ（１２）＝１２０であることを確認するのは難しくはありませんが，ある定数ｃに対してｍ（ｎ）＜ｃｎとなるかどうかも未知なのです．

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相異なる奇数の逆数の和が1になるためには少なくとも9項必要であること、最大の分母は小さくとも135である。

1/3+1/5+1/7+1/9+1/15+1/21+1/27+1/35+1/63+1/105+1/135=1

1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231=1

1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/33+1/45+1/385=1

1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/231+1/315=1

1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/165+1/693=1

1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395=1

なお、等差数列の逆数の和は決して整数にならないことが証明されている。

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