[Q]n(≧3)個の点を単位面積の円板(または単位正方形、単位面積正三角形）上におき、それらのうちの３点からできる最小の三角形の面積を最大にせよ。

最大面積をΔ(n)とする。

１点をほかのn-1点と結ぶことにより、n-2個の重ならない三角形を構成できるから、Δ(n)＜1/(n-2)＜1/nである。

ハイルブロンはΔ(n)＜c/n^2と予想した。

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[1]正三角形の辺の中点に3点を置いたときできる正三角形の面積は1/4

[2]正方形の辺の中点に4点を置いたときできる直角に等辺三角形は1/4

[3]正六角形は(30,30,120)の二等辺三角形6個分の面積を持つ。辺の中点に6点を置いたときできる二等辺三角形は辺が√3/2倍に縮小される。したがって、面積は1/6・3/4=1/8

[4]辺の長さ２の正方形に内接する半径１の正12角形は12個の正三角形と24個の二等辺三角形に分割され、その面積は3である。当該の二等辺三角形の頂角は5π/6、底角はπ/12。

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これは一般化したほうがよさそうである。単位円に内接する正ｎ角形は頂角π(n-2)/n,

中心角2π/n=t

1辺2sin(t/2)

面積nsin(t/2)cos(t/2)

二等辺三角形頂角π(n-2)/n,辺sin(t/2)の面積sin(t/2)cosπ(n-2)/2n

したがって、

sin(t/2)cosπ(n-2)/2n/(nsin(t/2)cos(t/2))=cosπ(n-2)/2n/(ncos(π/n))＝sin(π/n)/ncos(π/n)=tan(π/n)/n

x=π/nとおくと1/n=x/π

x/π・tanx

ｘ→0のとき、x/π・tanx→0

考え違いをしているのだろうか？

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