１１・・・１のように各桁の数字がすべて１である数をレプユニットと呼ぶ。

[Q]　レプユニットは平方数にならないことを証明せよ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ｎが偶数のとき、ｎ^2は４の倍数

ｎが奇数のとき、ｎ^2は４の倍数+1

平方数を４で割ると余りは0か1である。

11=4・2+3

111=4・27+3

11・・・1111=11・・・1000+111すなわち、４で割ると余り3

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

レプユニットは決して平方数にならないこは知られているが、それでは立方数になることはあるだろうか？　どんなとき、２乗因子のない数になるだろうか？

ｎが偶数のとき、ｎ^3は８の倍数

ｎが奇数のとき、ｎ^3=8k^3+12k^2+6k+1は２の倍数+1

11=8・1+3

111=8・13+7

1111=8・138+7

11111=8・1388+7

111111=8・13888+7

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ｎ=3kのとき、ｎ^3は27の倍数

ｎ=3k+1のとき、ｎ^3=27k^3+27k+9k+1は９の倍数+1

ｎ=3k-1のとき、ｎ^3=27k^3-27k+9k-1は９の倍数-1

11=9・1+2

111=9・12+3

1111=9・123+4

11111=9・1234+5

111111=9・12345+6

1111111=9・123456+7

11111111=9・1234567+8

111111111=9・12345678+9

1111111111=9・123456789+10

立方数になることはありえるが、なるかどうかわからない

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝