１１・・・１のように各桁の数字がすべて１である数をレプユニットと呼ぶ。

[Q]　レプユニットは平方数にならないことを証明せよ

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ｎが偶数のとき、ｎ^2は４の倍数

ｎが奇数のとき、ｎ^2は４の倍数+1

平方数を４で割ると余りは0か1である。

11=4・2+3

111=4・27+3

11・・・1111=11・・・1000+111すなわち、４で割ると余り3

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レプユニットは決して平方数にならないこは知られているが、それでは立方数になることはあるだろうか？　どんなとき、２乗因子のない数になるだろうか？

ｎが偶数のとき、ｎ^3は８の倍数

ｎが奇数のとき、ｎ^3=8k^3+12k^2+6k+1は２の倍数+1

11=8・1+3

111=8・13+7

1111=8・138+7

11111=8・1388+7

111111=8・13888+7

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