[Q]n(≧3)個の点を単位面積の円板(または単位正方形、単位面積正三角形）上におき、それらのうちの３点からできる最小の三角形の面積を最大にせよ。

最大面積をΔ(n)とする。

１点をほかのn-1点と結ぶことにより、n-2個の重ならない三角形を構成できるから、Δ(n)＜1/(n-2)＜1/nである。

ハイルブロンはΔ(n)＜c/n^2と予想した。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

[1]エルデシュは下限Δ(n)＞1/2n^2を示した。

[2]ロスは上限Δ(n)＜＜1/n(lnlnｎ)^1/2を示した。

[3]シュミットは上限Δ(n)＜＜1/n(lnｎ)^1/2に改良

[4]ロスは,準直交系の性質を応用することにより、上限Δ(n)＜＜1/n^(μ-ε),μ=2-2/√5=1.1055に改良

[5]ロスは上限Δ(n)＜＜1/n^(μ-ε),μ=(17-√65)/8=1.1172に改良

[6]コムロス・ピンツ・セメレディは下限Δ(n)＞＞(lnｎ)/n^2に改良することによってハイルブロンの予想を否定。

さらに上限をも改良した.現在知られているのは

(lnｎ)/n^2＜＜Δ(n)＜＜n^(-8/7)exp(c(logn)^1/2)

8/7=1.142

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝