３０^4+１２０^4+２７２^4+３１５^4＝３５３^4　　（1911年）

２７^5+８４^5+１１０^5+１３３^5＝１４４^5　　（1966年）

ａ^4+ｂ^4+ｃ^4＝ｄ^4？

しかし、ａ^4+ｂ^4+ｃ^4＝ｄ^2について、例をあげると

１４８^4+１３５^4+６０^4＝２８７２１^2

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直角三角形x^2+y^2=z^2において、

(yz)^4+(zx)^4+(xy)^4=(z^4-x^2y^2)^2

がなりたつ。

左辺

(x4+y^4)z^4+(xy)^4=(x4+y^4)(x^2+y^2)^2+(xy)^4

=(x4+y^4)(x^4+2x^2y^2+y^4)+(xy)^4

=(x^4+y^4)^2+2x^2y^2(x^4+y^4)+x^4y^4

=(x^4+x^2y^2+y^4)^2

右辺

((x^2+y^2)^2-x^2y^2)^2=(x^4+x^2y^2+y^4)^2=左辺

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x^4+x^2y^2+y^4が完全平方であれば、ａ^4+ｂ^4+ｃ^4＝ｄ^4のパラメータ解になるのであろうが、それは不可能であろう

a^2+b^2=c^2+d^2

a^3+b^3=c^3+d^3

a^4+b^4=c^4+d^4

a^5+b^5+c^5=d^5+e^5+f^5

a^6+b^6+c^6=d^6+e^6+f^6

に対してはパラメータ解が知られているという。

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