xが素数であることを証明するための一般的な方法として、x-1を素因数分解していくことが考えられる。もし、x-1=2yで、ｙがまた素数であるならば問題の規模は因数２だけしかならない。ｘが素数で，２ｘ＋１がまた素数となる数ｘをソフィー・ジェルマン素数という．ソフィー・ジェルマン素数からなるカニンガムの鎖を観察することは興味深いことである。

x+1の素因数分解もまたｘが素数であることの証明に使われる。２ｘ-１がまた素数となる鎖を観察することも興味深いことである。

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その意味では、カレン数n・2^n+1もその仲間であろう。

カレン数n・2^n+1は小さなｎに対してほとんど確実に合成数となる。その理由はフェルマーの定理により

(p-1)・2^p-1+1,(p-2)・2^p-2+1

がともにｐで割り切れるからである。

141・２^141+１は最小のカレン素数である。n・2^n+1型素数が無限にあるかどうかはわかっていない

k・2^n+1型素数が研究されてきたのはフェルマー数の約数がいつもこの形をしているからであるが、それだけではない。

78557・2^n+1はｎにどんな整数を入れても素数にならず、いつも3,5,7,13,19,37,73のどれかで必ず割り切れる.

383・2^6393+1は素数であるが、ｋの最小値は何であろうか？

すべてのｎに対して、k・2^n+1が合成数となるようなｋの最小値は何であろうか？

n・2^n-1型素数としては、n=2,3,6,30,75,81がある

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