xが素数であることを証明するための一般的な方法として、x-1を素因数分解していくことが考えられる。もし、x-1=2yで、ｙがまた素数であるならば問題の規模は因数２だけしかならない。ｘが素数で，２ｘ＋１がまた素数となる数ｘをソフィー・ジェルマン素数という．ソフィー・ジェルマン素数からなるカニンガムの鎖を観察することは興味深いことである。

x+1の素因数分解もまたｘが素数であることの証明に使われる。２ｘ-１がまた素数となる鎖を観察することも興味深いことである。

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