ゼータ関数に帰着する無限級数（n=1~∞）として

　　Σ1/(2n,n)={2π√3+9}/27

　　Σ1/n(2n,n)=π√3/9

　　3Σ1/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　12Σ(2-√3)^n/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=ζ（3）

　　Σ(2x)^2n/n^2(2n,n)=2(arcsinx)^2→x=1/2とおくとΣ1/n^2(2n,n)=π^2/18

などが知られています．

　２項係数nＣkを(n,k)と書くことにすると，ポールテンの問題

　　36/17Σ1/n^4(2n,n)=ζ（4）=π^4/90

で表されます。ポールテンは

　　1/2Σ1/n^4(2n,n)=∫(0,π/3)θ{log(2sin(θ/2))}^2dθ=17π^4/6480

を示すことによって彼自身の問題を解いたのですが，その際，ポリログ関数が使われたという話です．

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（証明）

　　2(arcsin(x))^2=Σ(2x)^2n/n^2(2n,n)

より，

　　Σ1/n^4(2n,n)=∫(0,1/2){∫(0,u)(arcsin(x))^2dx/x}du/u

ここで，右辺に部分積分を２回繰り返すことによって

　　Σ1/n^4(2n,n)=2∫(0,π/3)θ{log(2sin(θ/2))}^2dθ

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