【１】オイラーのレンガ

　各辺と空間対角線が自然数になる直方体ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2は恒等式

ａ＝ｋ（ｌ^2＋ｍ^2−ｎ^2）／ｎ，ｂ＝２ｋｌ，ｃ＝２ｋｍ，ｄ＝ｋ（ｌ^2＋ｍ^2＋ｎ^2）／ｎ

で与えられます．ただし，ｎはｌ^2＋ｍ^2の約数でｎ＜√（ｌ^2＋ｍ^2）でなければなりません．一つの文字だけの恒等式

　　ｎ^2（ｎ＋１）^2＋ｎ^2＋（ｎ＋１）^2＝（ｎ^2＋ｎ＋１）^2

によっても無数に解が求まります．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　その次に問題になるのは，すべての辺と空間対角線と各面の対角線が自然数で表されるような直方体が存在するかどうかということです．このレンガには７つの未知数があります．

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｄ^2

　　ａ^2＋ｃ^2＝ｅ^2

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｆ^2

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｇ^2

　長さが１１の倍数である辺を少なくともひとつもつことが必要条件です．どの２つの辺の長さも互いに素であるものは存在しないこともわかっています．しかし，このような直方体が存在するかどうかわかっていません．

　空間対角線だけが整数でない最小のレンガはオイラーによって辺が４４，１１７，２４０のものであることが示されています．

　ａ＝２４０，ｂ＝４４，ｃ＝１１７，ｄ＝２４４，ｅ＝２６７，ｆ＝１２５，

　ｇ＝２７０．６０１１８

［注］１７１９年にドイツ人会計士ハルケが見つけたともいわれている．オイラーのレンガは長い歴史にもかかわらず，まだ答えは見つかっていないようです．

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[1]空間対角線ｚだけが整数でない

[2]1辺ｘだけが整数でない

[3]辺対角線ｙのみが整数でない

[1]xi+1:xi+2:yi=2aibi:ai^2-bi^2:ai^2+bi^2

したがって、Π(ai^2-bi^2)/2aibi=1の整数解が必要である。

例をあげれば

(6^2-5^2)/2・6・5ｘ(11^2-2^2)/2・11・2＝(8^2-5^2)/2・8・5→(240,44,117)

[2]x1^2+x2=y3^2,t+x1^2,tx2^2+t+y3^2をすべて完全平方にしたい

例をあげれば

x1=124,x2=957,t=13852800

[3]x2^2+y2^2=z^2,x1^2+x3^2=y2^2,x1^2+x2^2=y3^2は

(p^2-q^2)(r^2-s^2), 4pqrsが完全平方のとき、x2^2=(p^2-q^2)(r^2-s^2)、x3^2=4pqrsで与えられる

例をあげれば、p,q,r,sを完全平方数とし、それらの４乗の差をとったとき、それらの積が完全平方になる例

3^4-2^4,9^4-7^4,11^4-2^4→(117,520,756),(104,153,672)

z^2=x2^2+y2^2=x3^2+y3^2・・・完全平方数を２通りに完全平方数の和で表すことになる

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