任意の自然数ｎに対して

［１］ｎが奇数ならば，３ｎ＋１

［２］ｎが偶数ならば，ｎ／２

にする．この工程（ＨＯＴＰＯ手順，half or triple plus one）を繰り返し行うと常に１に到達するというのがコラッツ予想である（１９３０年代）．　

{4,2,1,4,・・・}のサイクルを除けば、実行されたｎに対しては必ず１で終結している．

６→３→１０→５→１６→８→４→２→１

１１→３４→１７→５２→２６→１３→４０→２０→１０→５→１６→８→４→２→１

　このアルゴリズムは必ず終結するだろうか？　１９６０年代に，角谷静夫がこの問題を知り，母校のエール大学に広めたが誰も解決することはできなかった．３ｎ＋１を３ｎー１に置き換えても{1,2},{5,14,7,20,10},{17,50,25,74,37,110,55,164,82,41,122,61,182,91,272,136,68,34}のいずれかのサイクルの到達するという。

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【１】コンウェイの置換整数列

　任意の自然数ｎに対して

［１］ｎが奇数ならば，[(３ｎ＋１)/4]

［２］ｎが偶数ならば，３ｎ／２

にする．2m→3ｍ,4m-1→3m-1,4m+1→3m+1

サイクルは{1},{2,3},{4,6,9,7,5}{44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59}以外は知られていない。

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