ヘロンの三角形を４枚重ねて、体積が有理数の四面体を構成したい。

　ヘロンの公式とは，任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとして，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られる．

　また，四面体ＡＢＣＤ（ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，ＤＡ＝ｄ，ＤＢ＝ｅ，ＤＣ＝ｆ）とおくと，その体積は

　　１４４Ｖ^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　　　　　　　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　　　　　　　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　　　　　　　−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｂ^2ｆ^2ｄ^2−ｃ^2ｄ^2ｅ^2

で与えられる．

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ａ＝148，ｂ＝195，ｃ＝203

ｄ＝148，ｅ＝195，ｆ＝203

　四面の面積

s=273,s^2=273・125・78・70=13650^2

ａ^2＝21904，ｂ^2＝38025，ｃ^2＝41209

ｄ^2＝21904，ｅ^2＝38025，ｆ^2＝41209

（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）＝2b^2+2c^2-2a^2

（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）＝2a^2+2c^2-2b^2

（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）＝2a^2+2b^2-2c^2

　　１４４Ｖ^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）=a^4(2b^2+2c^2-2a^2)

　　　　　　　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）=b^4(2a^2+2c^2-2b^2)

　　　　　　　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）=c^4(2a^2+2b^2-2c^2)

　　　　　　　−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｂ^2ｆ^2ｄ^2−ｃ^2ｄ^2ｅ^2=-4a^2b^2c^2

b^2+c^2-a^2=57330

a^2+c^2-b^2=25088

a^2+b^2-c^2=18720

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計算を打ち切ってしまったが、ヘロンの三角形であることを確認しておきたい。

x^2+h^2=148^2

y^2+h^2=195^2

x+y=203

(203-x)^2+h^2=195^2

(203-x)^2+148^2-x^2=195^2

203^2-406x=195^2-148^2

406x=203^2-195^2+148^2=25088

ｘは整数にならない

辺と面積と体積が有理数である単体ということなのであろう。

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