正接の倍角公式は，

　　ｔａｎ２θ＝２ｔａｎθ／（１−ｔａｎ^2θ）

で与えられる．

　正接のｎ倍角公式は，パスカルの三角形を用いて，次のように書くことができる．

　　ｔａｎｎθ＝（nC1ｔａｎθ−nC3ｔａｎ^3θ＋nC5ｔａｎ^5θ−・・・）／（nC0−nC2ｔａｎ^2θ＋nC4ｔａｎ^4θ−・・・）

　分母・分子の係数は，２項係数の符号が対で交代するパスカルの正接三角形

　　　　　　　　　　　　１

　　　　　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　１　　　２　　　−１

　　　　　　１　　　３　　　−３　　　−１

　　　　１　　　４　　　−６　　　−４　　　１

　　１　　　５　　−１０　　−１０　　　５　　　１

の形に並べることができる．ほとんどの教科書から消えてしまったが，美しい公式である．

　　ｔａｎ３θ＝（３ｔａｎθ−ｔａｎ^3θ）／（１−３ｔａｎ^2θ）

　　ｔａｎ４θ＝（４ｔａｎθ−４ｔａｎ^3θ）／（１−６ｔａｎ^2θ＋ｔａｎ^4θ）

　　ｔａｎ５θ＝（５ｔａｎθ−１０ｔａｎ^3θ＋ｔａｎ^5θ）／（１−１０ｔａｎ^2θ＋５ｔａｎ^4θ）

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　ここでは，ｔａｎ16θ＝ｔａｎθを解いてみたい．

1,16,-120,-560,1820,4368,-8008,-11440,12870,11440,-8008,-4368,1820,560,-120,-16,1

この方程式はx=(tanθ)^2とおくと

1-120x+1860x^2-8008x^3+12800x^4-8008x^5+1820x^6-120x^7+x^8　

=16-560x+4368x^2-11440x^3+11440x^4-4368x^5+560x^6-16x^7

1+x^8-120(x+x^7)+1820(x^2+x^6)-8008(x^3+x^5)+12800x^4

=16(1-x^7)-560(x-x^6)+4368(x^2-x^5)-11440(x^3-x^4)

この８次方程式は頑張って解くしかないように思える

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この問題はx=tanθとおいて、xを消去せずに、学生さんの解いた以下の例のように17次方程式としたほうがよさそうである

x=±iも解となるからである。

x(1-120x^2+1860x^4-8008x^6+12800x^8-8008x^10+1820x^12-120x^14+x^16)　

=16-560x^2+4368x^4-11400x^6+11400x^8-4368x^10+560x^12-16x^14

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