ｔａｎｎθ＝ｔａｎθについては、n=45の場合は有名で、ローメンの問題と呼ばれていました。

正接加法定理であることに気づけばよいのでしょうが、気づくのは難しいと思います。

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パスカルの三角形の変形になりますので、一般性が導けると思います。

以前、私はｔａｎｎθ＝ｎｔａｎθの問題を取り扱ったことがあります。正四面体を積み上げていくとねじれた柱ができるのですが、ねじれ角は何度になるかという問題です。

[1]ｔａｎｎθ＝ｔａｎθ

[2]ｔａｎｎθ＝ｎｔａｎθ

を比較してみることにします。[2]を解いた経験があったからこそ、[1]は簡単に解くことができたが、・・・

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[1]では

λ=exp(2θi)とおくと

tannθ=tanθ→(λ^n-1)/(λ^n+1)=(λ-1)/(λ+1)に帰着される。

-(μ^n+1-1)-(μ^n-μ)=0

(μ-1){-2(μ^n-1+・・・μ^2+μ)}=0

(μ-1)=0または(μ^n-1+・・・μ^2+μ)=0

[2]では

λ=exp(2θi)とおくと

tannθ=tanθ→(λ^n-1)/(λ^n+1)=n(λ-1)/(λ+1)に帰着される。

(n-1)(μ^n+1-1)-(n+1)(μ^n-μ)=0

(μ-1)^3Σ(n-ν)νλ^(ν-1)=0に帰着される

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[1][2]とも解は単位円周上にある

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