オイラー分割は

1/(1-x)(1-x^2)(1-x^3)・・・=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+・・・

で定義されましたが、

ラマヌジャン分割は

x[(1-x)(1-x^2)(1-x^3)・・・]^24=τ(1)x+τ(2)x^2+τ(3)x^3+・・・

で定義されます。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ラマヌジャンの分割関数

　 ｇ（ｘ）＝ｘΠ（１−ｘ^k）^24＝Στ（ｎ）ｘ^n

　係数τ（ｎ）は乗法的性質，すなわち，（ｎ，ｎ’）＝１ならば

　　τ（ｎ，ｎ’）＝τ（ｎ）τ（ｎ’）

が成り立つ．

　ｍｏｄ７，２３，６９１との大変よい関係もある．

［１］ｎ＝７ｍ＋０，３，５，６のとき，

　　τ（ｎ）＝０　　（ｍｏｄ７）

［２］ｋが２３の平方非剰余のとき，

　　τ（２３ｎ＋ｋ）＝０　　（ｍｏｄ２３）

［３］ｎの約数の１１乗の和をσ11（ｎ）とすると，

　　τ（ｎ）＝σ11（ｎ）　　（ｍｏｄ６９１）

　係数τ（ｎ）のおよその大きさを決めるのは難しい問題のひとつであったが，　　｜τ（ｐ）｜＜２ｐ^11/2

であることをラマヌジャンが予想し，１９７３年にドリーニュがそれを証明した．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝