ここではartctan(1/n)をtnと書くことにします。

するとarctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan(1)はt1=t2+t3と表されます。

1671年、グレゴリーは

tx=1/x-1/3x^3+1/5x^5-1/7x^7+1/9x^9-1/11x^11+・・・

を示しました。ｘ＝1を代入すると

π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+・・・

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t1=t2+t3を使えば収束をスピードアップさせることができます。

π/4=1/2-1/3・2^3+1/5・2^5-1/7・2^7+1/9・2^9-1/11・2^11+・・・

+1/3-1/3・3^3+1/5・3^5-1/7・3^7+1/9・3^9-1/11・3^11+・・・

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オイラーはt1=t2+t3に加えて

t1=2t3+t7

t1=5t7+2t18-2t57

マチンは

t1=4t5-t239

を発見しています。マチンの公式はtnを2つ使ってπを表現する方法のなかで最良のものです。

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【１】ステルマーの定理

tnを2つ使ってπを表現する方法は、次の５つしかない。

4t1

4t2+4t3

8t2-4t7

8t3+4t7

16t5-4t239

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