ｎ番目の調和数を

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と定義すると，Ｈ1=1,Ｈ2=3/2,Ｈ3=11/6,･･･,Ｈ∞=∞となります．（ｎ＞１ならばＨn は整数にはなりません．）

　今回のコラムでは，調和級数の和

　　ΣＨn

を求めることにします。

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【１】調和級数の和

Ｈ1＋Ｈ2＋Ｈ3＋Ｈ4＋・・・＋Ｈ7

=7/1+6/2+5/3+4/4+3/5+2/6+1/7

これに8＝1/1+2/2+3/3+4/4+5/5+6/6+7/7+8/8を加えると

8/1+8/2+8/3+8/4+8/5+8/6+8/7+8/8=8H8

となります。

Ｈ1＋Ｈ2＋Ｈ3＋Ｈ4＋・・・＋Ｈ7+8=8H8

Ｈ1＋Ｈ2＋Ｈ3＋Ｈ4＋・・・＋Ｈ7=8H8-8

　ここで，ｎ番目までの調和数の和を

　　ΣΣ1/ｎ＝ ΣＨk ＝Ｈ1＋Ｈ2＋Ｈ3＋Ｈ4＋・・・＋Ｈn

　　　＝　１

＋１＋１／２

＋１＋１／２＋１／３

＋１＋１／２＋１／３＋１／４

・・・・・・・・・・・・・・

＋１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と並べ替え，縦方向に沿って和をとると，

　＝　ｎ＋（ｎ−１）／２＋（ｎ−２）／３＋・・・＋１／ｎ

　＝　（ｎ−１）／１＋（ｎ−２）／２＋（ｎ−３）／３＋・・・＋（ｎ−ｎ）／ｎ＋（１＋１／２＋・・・・＋１／ｎ）

　＝　（ｎ+1）（Ｈn+1−Ｈ1）

　　ΣΣΣ1/ｎ＝(n+2,2)(Hn+2-H2)

　　Σk重1/ｎ＝(n+k-1,k-1)(Hn+k-1-Hk-1)

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【２】調和級数の和（ｋ＝ｎ-1までの和）

　　ΣｋＨk ＝ｎ（ｎ−１）／２Ｈn−ｎ（ｎ−１）／４

一般に

　　Σ（ｋ、ｍ）Ｈk ＝（ｎ，ｍ＋１）（Ｈn−１／（ｍ＋１））

　ΣＨk／ｋに対しては，

　　ΣＨk ／ｋ＝１／２（（Σ１／ｋ）^2＋Σ（１／ｋ^2））

　　　　　　　＝１／２（Ｈn^2＋Σ（１／ｋ^2））＝１／２（Ｈn^2＋Ｈn^(2)）

と求められる．また，

　　ΣＨk^(2) ＝（ｎ＋１）Ｈn^(2)−Ｈn

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