ｎを越えない最大の平方数は，ガウス記号を用いて［√ｎ］^2と表せるのですが，ｎを越えない最大の平方数をとり，その残りに対して同様に最大の平方数をとる，・・・，そして残りが平方数になるとおしまいというアルゴリズムによって，４個の平方数の和

　　ｎ＝ｎ1^2＋ｎ2^2＋ｎ3^2＋ｎ4^2 に分解できるように思われます．はたして，これは正しいのでしょうか？

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　数値実験を続けてみることにします．

　　１＝１^2＋０^2

　　２＝１^2＋１^2

　　３＝１^2＋１^2＋１^2

　　４＝２^2＋０^2

　　５＝２^2＋１^2

　　６＝２^2＋１^2＋１^2

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　８＝２^2＋２^2

　　９＝３^2＋０^2

　　１０＝３^2＋１^2　

　　１１＝３^2＋１^2＋１^2

　　１２＝３^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　１３＝３^2＋２^2

　　１４＝３^2＋２^2＋１^2

　　１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

　　１６＝４^2

　　１７＝４^2＋１^2

　　１８＝４^2＋１^2＋１^2

　　１９＝４^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２０＝４^2＋２^2

　　２１＝４^2＋２^2＋１^2

　　２２＝４^2＋２^2＋１^2＋１^2

　　２３＝４^2＋２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　素数２３では５個の平方和となり，このアルゴリズムは２３で破綻してしまいます．もちろん，２３は８ｎ＋７型の素数ですから，３個の平方和では表すことはできませんが，

　　２３＝３^2＋３^2＋２^2＋１^2

のように４個の平方和の形に表すことができます．

　また，

　　１２＝３^2＋１^2＋１^2＋１^2＝２^2＋２^2＋２^2

　　１８＝４^2＋１^2＋１^2＝３^2＋３^2

　　１９＝４^2＋１^2＋１^2＋１^2＝３^2＋３^2＋１^2

　　２３＝４^2＋２^2＋１^2＋１^2＋１^2＝３^2＋３^2＋２^2＋１^2

のように，より少ない数の平方和として幾通りかに表すことのできる数もあります．

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　４＝（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2　　　１６通り

　４＝（±２）^2＋０^2＋０^2＋０^2　　　　　　　　　　　　＋８通り

のように，４個の平方数による分割

　　ｎ＝ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＋ｘ4^2

の解の個数をＲ（ｎ）で表せば，１８２９年，ヤコビは

　　Ｒ（ｎ）＝　８Σ（２ｄ＋１）　　　ｎ≡１（mod 2）

　　Ｒ（ｎ）＝２４Σ（２ｄ＋１）　　　ｎ≡０（mod 2）

　　　Σは（２ｄ＋１）｜ｎをわたる

を示しました．

　この出発点となった考え方は，

　　{Σq^(n^2)}^4=ΣR(n)q^n

　　　　　　　　 =1+8nq^n/(1-q^n)

の２つの表現のq^nの係数を比較することであって，Σq^(n^2)はテータ関数です．Ｒ（ｎ）を求めるのにヤコビはテータ関数を用いたのですが，それ以来，モジュラー形式などの解析的理論が数論へ応用されるようになり，ヤコビは２，４，６，８個の平方の和に分解する仕方の数，エルミートは３，５個の平方の和に分解する仕方の数を得ています．→コラム「もうひとつの五角数定理」，「分割数の漸近挙動」

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