a^4=0,1,16,81,256,・・・

1,2,17,82,

16,17,32,97

81,82,97

a^4+b^4=0,1,2,16,17,32,81,82,97,・・・

これに対しては15定理は成立しない。

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1=1

2=1+1

・・・・・・・

15=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

16＝16

・・・・・・・

31=16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

32＝16+16

・・・・・・・

47=16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

48=16+16+16

・・・・・・・

63=16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

64=16+16+16+16

・・・・・・・

79=16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

80=16+16+16+16+16

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(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1,n=1のとき15=2^4-1

(n+1)^4/n^4~n=2のときm=[(3/2)^4]=5

m=1→15

m=2→1+15=16

m=3→2+15=17

m=4→3+15=16

m=5のとき→4+15=19

したがって、最大値は(2^4-1)+m-1

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一般に、 2^4-1+[(3/2)^4]-1になると思われるが、

2^2-1+[(3/2)^2]-1=4

2^3-1+[(3/2)^3]-1=9

2^4-1+[(3/2)^4]-1=19

これがヨハン・アルブレヒト・オイラーの不等式であった。

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2^nと3^nの間を埋めるため

1が2^n-1個と

2^nが[(3/2)^n]-1個必要になる。

N角数定理もウェアリングの問題同様、ｎが小さいときの問題に帰着される

Nと2Nの間を埋めるために1がN個必要になる

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