［１］三角数：ｎ（ｎ＋１）／２

［２］四角数：ｎ^2＝ｎ（２ｎ−０）／２

［３］五角数：ｎ（３ｎ−１）／２

［４］六角数：ｎ（４ｎ−２）／２

［５］七角数：ｎ（５ｎ−３）／２

［６］八角数：ｎ（６ｎ−４）／２

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　一般に，ｍ角数の第ｎ項は，多角形の辺数ｍは公差よりも２だけ大きいことから，初項１，公差ｍ−２の等差数列の和：

　　１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

で与えられることがわかります．

　１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝の形の自然数をｍ角数といいます．すなわち，三角数△nとはｎ（ｎ＋１）／２，四角数□nとはｎ^2の形の自然数，すなわち平方数です．また，五角数☆nはｎ（３ｎ−１）／２で表されます．

　多角数という名前はそれぞれの図形の点の配置に由来するもので，ピタゴラスらが興味をもった図形数ですから，代数的にではなく図形的に考えてみることにしましょう．そうすると，ｎ−１番目の三角数をΔn-1＝（ｎ−１）ｎ／２とすると，多角形にΔn-1個の点からなる三角形を追加して作ることができるわけですから

　　ｎ＋（ｍ−２）Δn-1＝１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

とも考えることができるのです．

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多角数がいずれも三角数の組み合わせで表現できるわけではないように思われますが、以下のようにすれば三角数の組み合わせで表現可能です。

n^2=△n+△n-1＝n(n+1)/2+n(n-1)/2

ｎ（３ｎ−１）／２=△n+2△n-1=n(n+1)/2+2n(n-1)/2

ｎ（４ｎ−２）／２=△n+3△n-1=n(n+1)/2+3n(n-1)/2

ｎ（５ｎ−３）／２=△n+4△n-1=n(n+1)/2+4n(n-1)/2

ｎ（６ｎ−４）／２=△n+5△n-1=n(n+1)/2+5n(n-1)/2

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［２］四角数：ｎ^2＝ｎ（２ｎ−０）／２

mod8

0,1,4,1,0,1,4,1 0,1,4,1,0,1,4,1,・・・

7(mod8)を作るために4数が必要。

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［１］三角数：ｎ（ｎ＋１）／２

0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,・・・

mod8

0,1,3,6,2,7,5,4,0,5,7

mod9

0,1,3,6,1,6,3,1,0 0,1,3,6,1,6

5(mod9),8(mod9)を作るために3数が必要。

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［３］五角数：ｎ（３ｎ−１）／２

0,1,5,12,22,35,51,70,92,117,145,176,・・・

mod8

0,1,5,4,6,3,3,6,4,5,1,0,・・・

mod9

0,1,5,3,4,8,6,7,2,0,1,5,・・・

2(mod8),7(mod8)を作るために2数が必要。

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［４］六角数：ｎ（４ｎ−２）／２

0,1,6,15,28,45,66,91,120,153,190,231,・・・

mod8

0,1,6,7,4,5,2,3,0,1,6,7,・・・

mod9

0,1,6,6,1,0,3,1,3,0,1,6,・・・

1数が必要。

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［５］七角数：ｎ（５ｎ−３）／２

0,1,7,18,34,55,81,112,148,189,235,286,・・・

mod8

0,1,7,2,2,7,1,0,4,5,3,6,・・・

mod9

0,1,7,0,7,1,0,4,4, 0,1,7,・・・

3(mod9),6(mod9)を作るために3数が必要。

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［６］八角数：ｎ（６ｎ−４）／２

0,1,8,21,40,65,96,133,176,225,280,341,・・・

mod8

0,1,0,5,0,1,0,5,0,1,0,5,・・・

mod9

0,1,8,2,4,2,6,7,5,0,1,8,・・・

4(mod8)を作るために4数が必要。

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多角数定理はウェアリングの問題同様、ｎが小さいときの問題に帰着されるのだろうか？

1とNの間を埋めるために1(mod8)がｎ個必要になる

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