[Q]3^1900＜5^1300＜3^1910であることを示せ

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[A]

1+1/12＜(5^13)/(3^19)＜1+1/11

{(5^13)/(3^19)}^100＜(1+1/11)^100={(1+1/11)^11}^9(1+1/11)<3^10

{(5^13)/(3^19)}^100＞(1+1/12)^100={(1+1/12)^12}^8(1+1/12)^4＞2^8・16/12

2^8＜{(5^1300)/(3^1900)＜3^10

したがって、256・3^1900＜5^1300＜3^1910は証明された

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結局誤差が大きいほど、右辺

{(5^13)/(3^19)}^100＜(1+1/11)^100={(1+1/11)^11}^9(1+1/11)<3^10

が大きくなるわけである。

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