スターリングの公式は面白い公式で，たとえば，

　　ｎ！／ｎ^n　〜　√（２πｎ）／ｅ^n

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ　〜　√（２πｎ）／ｅ^n

として，全体のｎ乗根をとればｋ／ｎの相乗平均が大まかに１／ｅに近いことがわかります．

　一方，図形近似する立場からは天地逆転

　　ｎ^n／ｎ！

の方が使いやすいことがいえます．ｎ^n／ｎ！は１辺の長さｎの立方体を切断した直角三角錐の体積になるからです．

不等式

　　２（１／２）^n・（π／２ｎ）^n≦ｎ！／ｎ^n≦２（１／２）^n

　　１／２・（２／ｎ）^n≦ｎ！／ｎ^n≦２（１／２）^n

も

　　１／２・２^n≦ｎ^n／ｎ！≦１／２・（４ｎ／π）^n

　　１／２・２^n≦ｎ^n／ｎ！≦２・（ｎ／２）^n

という体積不等式になります．その図形的意味は１辺の長さｎの立方体を切断した直角三角錐の体積は２つの（半）球の中間になるという「球体による多面体近似」定理です．

　今回のコラムでは，これの双対と考えられる「多面体による球体近似」定理（ミンコフスキーの第２定理）

　　２^n／ｎ！≦ｖｏｌ（Ｋ）≦２^n

を紹介します．

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【１】ミンコフスキーの第２定理

　一般に中心対称な凸体（もっと一般的に０が重心であるような凸体）Ｋに対して，

　　２^n／ｎ！≦ｖｏｌ（Ｋ）≦２^n

はミンコフスキーの第２定理と呼ばれています．

　すなわち，Ｋの体積は１辺の長さ２の立方体とそれを切断した直角三角錐の体積の中間になるというものです．冒頭で紹介したように両者は数学的双子なのですが，それにしてもよく似ていると思いませんか？

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